Lineare Gleichungssysteme II
In der Mittelstufe hattest du schon mit Linearen Gleichungssystemen zu tun. Diese hatten damals in der Regel nur zwei Unbekannte und wurden mit dem Einsetzungsverfahren, dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren gelöst.
Weil Lineare Gleichungssysteme wesentliche Werkzeuge der Linearen Algebra und der Analytischen Geometrie sind, kommen wir jetzt noch einmal auf diese zurück. Diesmal werden auch LGS mit mehr als zwei Unbekannten behandelt. Zunächst lernst du das Gauß-Verfahren (welches auf dem Additionsverfahren beruht) zum systematischen Lösen von LGS kennen, bei dem man das LGS Schritt für Schritt in die sogenannte Stufenform (oder Dreiecksform) überführt. Du wirst erfahren, wie man die Art der Lösungsmenge eines LGS nach Überführung in die Stufenform erkennt und wirst lernen, wie man die Lösungsmenge eines LGS angibt, das unendlich viele Lösungen hat.
m13v0232 In diesem Video lernst du, wie man ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit Hilfe des Gauß-Verfahrens löst. Hierbei lernst du im einzelnen: - welche Rechenoperationen beim Lösen von linearen Gleichungssystemen erlaubt sind - wie man ein LGS schrittweise auf die Stufenform (Dreiecksform) bringt - wie man ein auf die Stufenform gebrachtes LGS rückwärts/von unten nach oben löst | auf teilen
m13v0233 In diesem Video lernst eine Schreibweise kennen, mit der man lineare Gleichungssysteme (LGS) übersichtlich und schnell lösen kann - die erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Schreibweise der erweiterten Koeffizientenmatrix ist nicht nur vorteilhaft beim "von Hand"-Lösen von LGS, sondern sie wird auch für die Eingabe von LGS in den Taschenrechner verwendet. | auf teilen
m13v0234 Nachdem man das LGS mit dem Gauß-Verfahren auf die Stufenform gebracht hat, kann man an der letzten Zeile des LGS erkennen, welche Art von Lösungsmenge (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) das LGS hat. Das Video zeigt, wie es geht... | auf teilen
m13v0251 In diesem Video lernst du, wie man bei einem linearen Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen hat, die Lösungsmenge angeben kann. | auf teilen
m13v0479 In diesem Video wird ein Algorithmus zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen vorgestellt, der im Prinzip wie der Gauß-Algorithmus funktioniert, aber so lange durchlaufen wird, bis die Koeffizientenmatrix am Ende nur noch Einsen auf der Hauptdiagonale enthält. Dies ist das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren ? eine Methode, die man kennen sollte, weil sie z.B. der manuellen Berechnung von Inversen Matrizen benötigt wird. | auf teilen
m13v0411 In diesem Übungsvideo sollst du ein Lineares Gleichungssystem (LGS) konstruieren, welches eine vorgegebene Lösungsmenge hat. Im Video wird die "Gauß-Verfahren-Rückwärts"-Methode verwendet. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0412 Ein weiteres Übungsvideo, bei dem du Lineare Gleichungssysteme konstruieren sollst, die eine vorgegebene Lösungsmenge haben. Diesmal soll ein LGS aufgestellt werden, welches die Lösungsmenge (0,0,0) hat und eines, das keine Lösung hat. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0714 Diese Übungsaufgabe behandelt die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in Matrixform. Du sollst eine 3×2-Koeffizientenmatrix A erstellen und zwei Ergebnisvektoren entwerfen, um einmal eine eindeutige Lösung und einmal keine Lösung zu erhalten. Die Besonderheit dieser Aufgabe besteht darin, dass das lineare Gleichungssystem mehr Gleichungen als Unbekannte hat. Dieses Video ist eine nützliche Ressource für alle, die ihre Kenntnisse zu linearen Gleichungssystemen und deren Lösungsmengen erweitern möchten. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0797 Diese Aufgabe behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die in Form einer Matrix-Vektor-Gleichung gegeben sind. Du sollst den allgemeinen Lösungsvektor bestimmen, falls unendlich viele Lösungen existieren, und zusätzlich eine spezielle Lösung finden, indem der Wert einer Variable vorgegeben wird. Außerdem überprüfst du, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder keine Lösung hat. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0560 Bei dieser Aufgabe sollst du ein LGS aufstellen, welches eine vorgegebene, unendlich große Lösungsmenge hat. Das LGS soll aus drei Zeilen bestehen, und jede der Variablen x1, x2 und x3 soll in jeder Zeile vorkommen. Die Richtigkeit des aufgestellten LGS soll anhand einer der unendlich vielen Lösung demonstriert werden. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0749 Wenn man zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems kennt, dann weiß man, dass das LGS tatsächlich unendlich viele Lösungen hat. Hier sind zwei Lösungen vorgegeben, und du sollst die Menge aller Lösungen bestimmen und ein mögliches zugehöriges LGS aufstellen. Dies ist eine wichtige Aufgabe, mit der du dein Verständnis zu Linearen Gleichungssystemen überprüfen kannst. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0748 Dies ist eine Übung zur Prüfung deines Verständnisses von linearen Gleichungssystemen. Deine Aufgabe ist es, Gleichungssysteme zu erstellen − mit entsprechender Begründung −, die entweder unendlich viele, genau eine oder keine Lösung haben. Die Herausforderung besteht darin, ausgehend von einem ursprünglichen Gleichungssystem dieses so zu modifizieren, dass sich unterschiedliche Lösungsmengen ergeben. Hierfür ist ein grundlegendes Verständnis darüber erforderlich, wie lineare Gleichungssysteme funktionieren. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0265 In diesem Übungsvideo geht es um das Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS), das neben den Variablen auf der Ergebnisseite auch einen Parameter r enthält. Es soll die Lösungsmenge in Abhängigkeit von r bestimmt werden. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0266 Dies ist das zweite Übungsvideo zum Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit Parameter. Hier wird sich ergeben, dass vom Parameter abhängt, ob das LGS unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0430 Ein drittes Übungsvideo zum Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit Parameter. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger, denn hier muss man eine Fallunterscheidung machen. Auch hier hängt es vom Parameterwert ab, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. | Arbeitsblatt zum Download | Musterlösung auf Patreon | auf teilen
m13v0781 In dieser Aufgabe testest du deine Fähigkeiten im Umgang mit linearen Gleichungssystemen (LGS) mit einem Parameter. Du löst das System für verschiedene Parameterwerte, untersuchst, wann keine Lösung existiert, und bestimmst die Lösungsmenge des LGS allgemein in Abhängigkeit vom Parameter. Zusätzlich ermittelst du den Parameterwert, bei dem eine vorgegebene Lösung des Systems erfüllt wird. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0423 Zwei Schüler haben dasselbe LGS gelöst, dabei heraus bekommen, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Beide haben eine jeweils eine Lösungsmenge, die allerdings unterschiedlich aussieht. Du sollst nun nachweisen, dass das beide Darstellungsmöglichkeiten für das gegebenen LGS richtig sind. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen
m13v0480 Bei dieser Aufgabe sollst du untersuchen, welchen Einfluss ein Koeffizientenparameter auf die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems hat. Eine ähnliche Aufgabe wurde im hilfsmittelfreien Teil im Abitur des Landes NRW im Jahr 2017 gestellt. | Arbeitsblatt zum Download | Musterlösung auf Patreon | auf teilen
m13v0645 Bei dieser Aufgabe soll man ein gegebenes Lineare Gleichungssystem (LGS) mit drei Unbekannten und drei Gleichungen so erweitern, dass ein überbestimmtes LGS entsteht. Dabei soll einmal ein LGS mit der ursprünglichen Lösungsmenge, und einmal ein LGS mit leerer Lösungsmenge erzeugt werden. | Arbeitsblatt zum Download | auf teilen