Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen spielen eine sehr wichtige Rolle bei der Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Wenn sich ein Bakterium immerzu teilt und aus einem Bakterium werden 2, dann 4, dann 8, dann 16 usw., dann ist dies ein Beispiel für exponentielles Wachstum. Beim Zerfall einer radioaktiven Substanz hat man es hingegen mit exponentieller Abnahme bzw. Zerfall zu tun.
Zunächst wirst du Funktionen vom Typ f(x)=c·ax kennenlernen. Später werden wir und dann mit einer besonderen Exponentialfunktion, der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex beschäftigen.



Unterschied Lineare Funktion Exponentialfunktion

 m13v0420  Früher haben wir ja schon lineare Funktionen zur Beschreibung von Zunahme- bzw. Abnahmeprozessen kennengelernt. In diesem Kapitel lernst du zusätzlich exponentielle Zunahme und Abnahme kennen. In diesem Video werden die grundlegenden Unterschiede herausgearbeitet. | auf  teilen



Linearer oder exponentieller Verlauf; Textaufgabe in Funktionsgleichung übersetzen

 m13v0415  Aufbauend auf das vorige Video m13v0420 kannst du mit Hilfe dieser Übung überprüfen, ob du den Unterschied zwischen linearem bzw. exponentiellen Wachstum/Abnahme verstanden hast. Es werden Wachstums-/Abnahmeprozesse beschrieben, denen der Typus linear bzw. exponentiell zugeordnet werden soll. | auf  teilen



Exponentialgleichung vom Typ f(x)=c·ax: Gleichung aufstellen aus zwei Punkten

 m13v0172  Eine Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. In diesem Video wird gezeigt, wie man aus den Koordinaten zweier Graphenpunkte die zugehörige Funktionsgleichung ermitteln kann.  | auf  teilen



Exponentialfunktion aus zwei Punkten aufstellen (eine schnellere Methode)

 m13v0448  Nachfolgend zum Video m13v0172 soll hier eine weitere Methode zur Bestimmung einer Exponentialfunktion vom Typ f(x)=c·ax vorgestellt werden. | auf  teilen



Übung: Eigenschaften von Exponentialfunktionen

 m13v0364  In diesem Übungsvideo werden die Exponentialfunktionen des Typs f(x)=k·wx betrachtet. Hier soll man jetzt den Graphenverlauf skizzieren in Abhängigkeit der Werte von k und w. So eine ähnliche Aufgabe kam in Österreich in der Matura-Klausur vor. | auf  teilen



Da die Funktionsgleichung f(x)=c·ax vier Größen enthält, gibt es vier Aufgabentypen, bei denen jeweils drei der Größen bekannt sind und man die vierte bestimmen soll.

  • Funktionswert f(x) an gegebener x bestimmen
  • Startwert bzw. Anfangsbestand c bestimmen
  • Wachstums-/Zerfallsfaktor a bestimmen
  • Exponent x bestimmen. Häufig ist dies die Zeit, weshalb die Variable dann oft mit t benannt ist.
Die nachfolgenden Videos behandeln diese grundlegenden Aufgabentypen.



Zinseszins und Kapitalwachstum: Anfangskapital, Zinssatz, Anlagedauer, Endkapital berechnen

 m13v0216  Typische Aufgaben zum Thema Kapitalwachstum und Zinseszins - Wie man Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz und Anlagedauer berechnet.  | auf  teilen



exponentielle Abnahme: Anfangswert, Verlustrate, Dauer, Endwert berechnen

 m13v0217  Zweites Übungsvideo zum exponentiellen Wachstum und Zerfall - diesmal geht es um Abnahme- und Zerfallsprozesse. Bestimme die fehlenden Werte (Anfangswert, Endwert, Verlustrate, Dauer).  | auf  teilen



Exponentialfunktion aufstellen und umwandeln für Minute, Stunde, Tage

 m13v0445  In diesem Video wird gezeigt, wie man eine Exponentialgleichung so anpasst, dass man die Variable in anderen Einheiten verwenden kann. Hat man z.B. eine Exponentialfunktion für die stündliche Abnahme eines Bestands gegeben, so kann man die Funktion abwandeln, so dass man anstatt Stunden auch Minuten oder Tage als Zeiteinheit verwenden kann. | auf  teilen

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Transformation von Exponentialfunktionen

 m13v0425  In diesem Übungsvideo geht es um die Transformation von Graphen von Exponentialfunktionen. In der einen Aufgabe sollst du zeigen, dass es zwei unterschiedliche Wege der Transformation (Verschieben bzw. Stauchen/Strecken) gibt, die zum selben Ergebnis führen. In der zweiten Aufgabe sollst du die einzelnen Schritte der Transformationen angeben, mit der man von einer Exponentialfunktion zu einer anderen Exponentialfunktion gelangt. | auf  teilen



Die natürliche Exponentialfunktion / e-Funktionen

Bislang haben wir Exponentialfunktionen des Typs f(x)=c·ax betrachtet. Dabei war die Basis a eine positive Zahl, die für a > 1 exponentielles Wachstum und für 0 < a < 1 exponentiellen Zerfall beschreibt. Im Folgenden werden wir Exponentialfunktionen mit einer besonderen Basis betrachten. Diese Basis ist die Eulersche Zahl e. e ist eine irrationale Zahl (e ≈ 2,718). Was Exponentialfunktionen zur Basis e so besonders macht, und warum man mit den sogenannten e-Funktionen komfortabel rechnen kann, erfährst du in den folgenden Videos...



Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung. Herleitung der Eulerschen Zahl e.

 m13v0447  In diesem Video wird eine besondere Exponentialfunktion behandelt - die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e. e ist die Eulersche Zahl, näherungsweise 2,718. Hier wird gezeigt, dass es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsfunktion mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt: f(x)=e^x. Außerdem wird gezeigt, wie man einen Näherungswert für die Eulersche Zahl e ermitteln kann. Zur Herleitung von e benutzt man die Differentialquotienten-Definition der Ableitung. | auf  teilen



Grenzverhalten von e-Funktionen

 m13v0452  Den Verlauf der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex sollte man kennen − äh, den muss man kennen!. Aber wie wird der Verlauf des Graphen durch den Exponenten beeinflusst, also wenn man es mit einer Funktion f(x)=eg(x) zu tun hat, wobei g(x) eine mehr oder weniger komplizierte Funktion sein kann − zum Beispiel eine ganzrationale Funktion?! In diesem Video wird es erklärt. Soviel sei verraten: Was immer auch passiert, es passiert oberhalb der x-Achse... | auf  teilen