Ebenen II (zusätzlich Normalenform und Koordinatenform)

Im Kapitel Ebenen I haben wir ausschließlich die Parametergleichung der Ebene verwendet. Es gibt aber noch weitere Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen. In diesem Kapitel Ebenen II kommt jetzt noch die Normalenform und die Koordiantenform der Ebene dazu. Unter anderem wirst du lernen, wie man die verschiedenen Formen ineinander umwandeln kann.



Die Ebenengleichung in Normalenform



Die Normalenform der Ebenengleichung

 m13v0463  Die Parameterform der Ebenengleichung kennst du ja schon. Hier lernst du eine weitere Form der Ebenengleichung kennen − die sogenannte Normalengleichung. Diese Gleichung beinhaltet zwei Informationen: einen Punkt der Ebene und einen Normalenvektor (dies ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht). Wie man diese Zutaten zusammenbringt, und welche Rolle auch noch das Skalarprodukt dabei spielt, das erfährst du in diesem Video. | auf  teilen



Punktprobe durchführen, wenn Ebene in Normalenform gegeben ist

 m13v0462  In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft, ob ein Punkt auf der Ebene liegt (Punktprobe), wenn die Gleichung der Ebene in Normalenform angegeben ist. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Die Ebenengleichung in Koordinatenform



Liegt der Punkt auf der Ebene? | Punktprobe bei Koordinatenform

 m13v0063  In diesem Video wird gezeigt, wie man überprüft ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt, die in Koordinatenform angegeben ist. | auf  teilen



Ebenengleichung und Punktkoordinaten passend zueinander ergänzen

 m13v0389  Gegeben sind eine unvollständige Ebenengleichung in Koordinatenform und drei Ebenenpunkte, von denen auch nicht alle Koordinaten bekannt sind. Die Ebenengleichung und die Punktkoordinaten sind so zu ergänzen, dass die Punkte auf der Ebene liegen. | Skript zum Download | auf  teilen



Ebene zeichnen, Flächeninhalt des abgeschnittenen Dreiecks auf Koordinatenebene bestimmen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0558  Bei dieser Aufgabe aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll ein Ausschnitt einer Ebene (die in Koordinatenform gegeben ist) ins dreidimensionale Koordinatensystem gezeichnet werden. Außerdem soll der Flächeninhalt des Dreiecks bestimmt werden, welches durch die Ebene auf einer Koordinatenebene mit den Koordinatenachsen abgegrenzt wird. | Skript zum Download | auf  teilen



Vektor gesucht - gleichzeitig Normalenvektor einer Ebene und Ortsvektor zu Ebenenpunkt

 m13v0297  Bei dieser Aufgabe geht es darum, einen geforderten Zusammenhang zwischen Normalenvektor einer Ebene und Ortsvektoren von Ebenenpunkten als Gleichung zu formulieren und diese dann zu lösen. (So ähnlich im Abi gesehen: Bayern 2017, hilfsmittelfreier Teil) | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Spezielle Punkte einer Ebene bestimmen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0512  Bei dieser Aufgabe ist die Koordinatenform einer Ebene gegeben. Nun sucht man den Punkt bzw. die Punktmenge, bei denen alle bzw. zwei Koordinaten übereinstimmen. Eine Aufgabe aus der Reihe "So ähnlich im Abi gesehen". | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Ursprung an Ebene Spiegeln (so ähnlich im Abi gesehen)
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 m13v0576  Die Gleichung der Ebene E ist in Koordinatenform gegeben. Der Koordinatenursprung O soll an der Ebene E gespiegelt werden, wodurch der Spiegelpunkt O‘‚ entsteht. Außerdem soll die zu Ebene E parallele Ebene F bestimmt werden, die den Punkt O‘‚ enthält. Ein Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen".

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Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene



Was sind Spurpunkte und Spurgeraden? - Übersicht

 m13v0280  Dieses Video fasst noch einmal zusammen, was Spurpunkte und Spurgeraden sind. Spurpunkte gibt es bei Geraden und Ebenen, Spurgeraden gibt es bei Ebenen. | auf  teilen



Spurpunkte einer Ebene bestimmen (Ebene in Koordinatenform)

 m13v0167  In diesem Video wird vorgemacht, wie man die Spurpunkte einer Ebene bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform angegeben ist.  | auf  teilen



Spurgeraden berechnen - Ebene in Koordinatenform gegeben

 m13v0408  Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen des Koordiantensystems. In diesem Video wird gezeigt, wie man die Spurgeraden bestimmt, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist.  | auf  teilen



Ebene durch Punkt, parallel zu einer zweiten Ebene

 m13v0088  In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die parallel zu einer gegebenen Ebene liegt und durch einen ebenfalls vorgegebenen Punkt (außerhalb der ersten Ebene geht). In diesem Video werden alle Fälle behandelt, d.h. die vorgegebene Ebene kann in Parameterform, in Normalenform und in Koordinatenform vorliegen... | auf  teilen



Konstruktionsmöglichkeiten von Ebenen



Gleichung einer Ebene aufstellen und in ein Koordinatensystem zeichnen

 m13v0214  Bei dieser Übungsaufgabe soll man eine Ebenengleichung aufstellen; man kennt einen Punkt der Ebene, von dem senkrecht eine Strecke zu einem Punkt außerhalb der Ebene zeigt. Die berechnete Ebene soll dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung

 m13v0562  Die Achsenabschnittsform ist eine Darstellungsform einer Ebenengleichung, in der die Schnittstellen der Ebene mit den Koordinatenachsen vorkommen. In diesem Video erfährst du, wie hilfreich diese Form ist, wenn man ein Ebenenbildchen gegeben hat und man eine Gleichung der Ebene aufstellen soll. Auch die Herleitung der Achsenabschnittsform wird besprochen. | auf  teilen



Ebenengleichung anhand der Spurpunkte aufstellen

 m13v0561  Wenn man die Spurpunkte einer Ebene (also die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) kennt, dann ist es ein Leichtes, daraus eine Koordinatengleichung der Ebene zu entwickeln, wenn man die Achsenabschnittsform kennt. Umgekehrt ist es auch nicht schwer, aus der Koordinatenform der Ebene, die Achsenabschnittsform aufzustellen, aus der man dann die Spurpunkte ganz leicht ablesen kann. In diesem Übungsvideo wird beides vorgemacht. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



(Spiegel-)Ebene zwischen zwei Punkten konstruieren

 m13v0089  In diesem Video geht es um die Konstruktion einer Ebene, die spiegelsymmetrisch zu zwei gegebenen Punkten liegt. Die Ebene wird in Normalen- bzw. Koordinatenform berechnet, da dies hier der bequemste Weg ist.  | auf  teilen



Aus 3 Punkten direkt zur Koordinatengleichung der Ebene mit GTR (TI-nspire)

 m13v0286  Wie man aus drei gegebenen Punkten (die natürlich nicht auf einer Geraden liegen dürfen) durch das Aufstellen eines LGS direkt zur Koordinatenform der Ebene kommt wird in diesem Video vorgemacht. Dies ist eine schnelle Methode, wenn man den GTR hierfür einsetzen darf. | auf  teilen



Ebenengleichungen ineinander umwandeln






Parametergleichung der Ebene in Koordinatenform umwandeln

 m13v0486  In diesem Video lernst du eine weite Methode zur Umwandlung einer Parametergleichung einer Ebene in die Koordinatenform kennen - per Eliminierung der Parameter mittels eines Verfahrens, das dem Gauß-Verfahren ähnelt. | auf  teilen




Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln - schnelle Methode

 m13v0565  In einem früheren Video (m13v0004)hatten wir eine Methode kennengelernt, mit der man die Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform überführen kann. In diesem Video lernst du eine andere Methode kennen, die vielleicht noch schneller geht. | auf  teilen



Welche Ebene in Parameterform entspricht der Ebene in Koordinatenform? (Übung)

 m13v0439  Bei dieser Aufgabe geht es um die Darstellung einer Ebene in Parameterform und Koordinatenform. Es ist eine Koordinatenform gegeben, und du sollst entscheiden, welche der vier angegebenen Parametergleichungen eine Beschreibung der Ebene ist, welche in Koordinatenform vorgegeben ist (dabei kann es mehrere richtige Möglichkeiten geben). | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen





Übung Normalenform und Koordinatenform anpassen, so dass sie dieselbe Ebene beschreiben

 m13v0424  Eine Übungsaufgabe zur Umwandlung zwischen Normalen- und Koordinatenform einer Ebene. Dabei sollen vorgegebene Gleichungen mit Parametern so angepasst werden, dass diese dieselbe Ebene beschreiben. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Übung: Ebenengleichungen zuordnen und besondere Lage von Ebene erkennen

 m13v0470  Bei dieser Übung hast du Kärtchen mit Ebenengleichungen bzw. mit Beschreibungen von besonderen Ebenenlagen gegeben, und du sollst passende Kärtchen zuordnen. Dabei geht es darum, dass zu weißt, wie man Parameterform, Normalenform und Koordinatenform ineinander umwandelt und wie man an der Ebenengleichung eine besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem erkennen kann. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Besondere Lage von Ebenen schnell erkennen



Gegenseitige Lage Ebene-Ebene

Zwei Ebenen können entweder identisch sein, parallel zueinander verlaufen oder sich in einer Schnittgeraden schneiden. In den folgenden Videos wird gezeigt, wie man die gegenseitige Lage untersucht.



... wenn beide Ebenen in Koordinatenform gegeben sind

 m13v0107  In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn diese beide in Koordinatenform gegeben sind, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.  | auf  teilen



... wenn eine Ebene in Koordinatenform, eine in Parameterform gegeben ist

 m13v0108  In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn eine in Parameterform, die andere in Koordinatenform gegeben ist, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.  | auf  teilen



Zwei Ebenen in Koordinatenform untersuchen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0440  Eine mehrteilige Übungsaufgabe zu Ebenen, die in Koordinatenform angegeben sind. Es geht um Punktproben, gegenseitige Lage von Ebenen. Diese hilfsmittelfreie Aufgabe ist eine typische Aufgabe aus dem Bereich der Analytischen Geometrie, wie sie in Klausuren (oder im Abi) gestellt werden könnte. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen

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Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

Beachte, im Folgenden werden nur Ebenen in Normalen- oder Koordinatenform berücksichtigt. Im Kapitel Ebenen I gibt es einen entsprechenden Abschnitt zur Lageuntersuchung zwischen Gerade und Ebene in Parameterform.



Lage Gerade (Parameterform) - Ebene (Koordinatenform)

 m13v0015  In diesem Video zeige ich, wie man die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene bestimmt, wenn die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. | auf  teilen



Alle Ebenen bestimmen, die parallel zu einer gegebenen Geraden liegen.

 m13v0213  Eine Übungsaufgabe zum Thema Ebenen und Geraden: Eine Gerade ist gegeben, und man soll alle Ebenen bestimmen, die parallel zu dieser Geraden liegen. | Skript zum Download | auf  teilen



Gerade, Ebene, Schnittpunkt, gegenseitige Lage (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0380  In diesem Video geht es um die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene (in Koordinatenform gegeben). Außerdem soll geprüft werden, ob die Gerade die Ebene senkrecht schneidet. Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen"; eine ähnlich Aufgabe wurde im hilfsmittelfreien Teil im Abi des Landes NRW im Jahr 2017 gestellt. | Skript zum Download | auf  teilen



Geraden, die eine Ebene aufspannen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0545  Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" soll gezeigt werden, dass sich zwei Geraden senkrecht schneiden und der Schnittpunkt soll angegeben werden. Schneidende Geraden definieren natürlich eine Ebene; diese soll in Koordinatenform angegeben werden. Bei dieser Aufgabe kann man (mit dem notwendigen Background-Wissen) vieles ohne Rechnung bestimmen − von daher vielleicht eine interessante, hilfsmittelfreie Aufgabe. | Skript zum Download | auf  teilen



Gerade anpassen, so dass g in E liegt u.a. (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0492  Bei diesen Aufgaben aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um das Wechselspiel zwischen Ebene (angegeben in Koordinatenform) und Gerade. Zu einen soll die Parametergleichung der Geraden g so ergänzt werden, dass diese in der angegebenen Ebene liegt; zum zweiten soll man dann eine weitere Gerade bestimmen, die ebenfalls in der Ebene liegt und die senkrecht zur Geraden g liegt. | Skript zum Download | auf  teilen



Gerade, senkrecht zur Ebene: Schnittpunkt und weitere Geradenpunkte bestimmen (So ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0547  Bei diesem Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen" geht es um den rechnerischen Nachweis der senkrechten Ausrichtung einer Gerade zu einer Ebene, welche in Koordinatenform angegeben ist; auch der Schnittpunkt ist zu bestimmen. Außerdem sollst du zeigen, dass du die Methode der graphischen Vektoraddition verstehst, mit der weitere Punkte zu ermitteln sind. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen



Gerade, Ebene, Gerade gespiegelt an Ebene (so ähnlich im Abi gesehen)

 m13v0554  Ein weiteres Video aus der Serie "So ähnlich im Abi gesehen". Hier geht es im Wesentlichen (1.) um das Aufstellen einer Gerade, die durch zwei Punkte geht; (2.) um den Nachweis, dass diese Gerade senkrecht zu einer Ebene (gegeben in Koordinatenform) steht; (3) um das Aufstellen der Gleichung einer Geraden, die durch Spiegelung einer anderen Geraden an einer Ebene entsteht. | Skript zum DownloadHier gibt es Patron-Extras | auf  teilen